Технический форум купить трафик таргетированный
Вернуться   Технический форум > Программирование > Форум программистов > Математика


Ответ
 
Опции темы Опции просмотра
Старый 29.10.2016, 13:00   #1 (permalink)
iks2
Member
 
Регистрация: 22.10.2016
Сообщений: 62
Сказал(а) спасибо: 0
Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях
Репутация: 10
По умолчанию Доказать тождество

Требуется доказать тождество
sin(x)^2 - sin(y)^2 = sin(x + y)sin(x -y)
iks2 вне форума   Ответить с цитированием

Старый 29.10.2016, 13:00
Helpmaster
Member
 
Аватар для Helpmaster
 
Регистрация: 08.03.2016
Сообщений: 0

Отправлю вам список полезных ссылок

Доказать общезначимость методом семантических таблиц

Старый 29.10.2016, 21:13   #2 (permalink)
Vladimir_S
Специалист
 
Аватар для Vladimir_S
 
Регистрация: 27.08.2008
Адрес: Санкт-Петербург
Сообщений: 24,013
Сказал(а) спасибо: 143
Поблагодарили 286 раз(а) в 98 сообщениях
Репутация: 62968
По умолчанию

А в чем подвох? Обычная школьная задачка по тригонометрии. Решается "в лоб".
__________________
With Mozilla Firefox - straight to communism!
Vladimir_S вне форума   Ответить с цитированием
Старый 29.10.2016, 22:08   #3 (permalink)
iks2
Member
 
Регистрация: 22.10.2016
Сообщений: 62
Сказал(а) спасибо: 0
Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях
Репутация: 10
По умолчанию

Vladimir_S
Вы правы эту задачу можно решить "в лоб".
Но еще проще решить "в уме". Пусть x - переменная
y - параметр. Легко вычислить производную по
переменной икс... и тождество доказано
...
производная - это не подвох, а математический прием.
iks2 вне форума   Ответить с цитированием
Старый 30.10.2016, 08:41   #4 (permalink)
Vladimir_S
Специалист
 
Аватар для Vladimir_S
 
Регистрация: 27.08.2008
Адрес: Санкт-Петербург
Сообщений: 24,013
Сказал(а) спасибо: 143
Поблагодарили 286 раз(а) в 98 сообщениях
Репутация: 62968
По умолчанию

Цитата:
Сообщение от iks2 Посмотреть сообщение
Vladimir_S
Вы правы эту задачу можно решить "в лоб". Но еще проще решить "в уме". Пусть x - переменная y - параметр. Легко вычислить производную по переменной икс... и тождество доказано
Э-э... я, конечно, дико извиняюсь, но нельзя ли поподробнее? Что-то не доходит...
Производная по х левой части есть
2sin(x)cos(x)
Правой части -
cos(x+y)sin(x-y) + cos(x-y)sin(x+y)
Да, действительно, и справа, и слева мы имеем Sin(2x).
Вот только осмелюсь напомнить, что из равенства производных, а уж тем более частных, отнюдь не следует тождественность функций. То есть настолько не следует, что вовсе не следует.
Цитата:
Сообщение от iks2 Посмотреть сообщение
производная - это не подвох, а математический прием.
Изречение сродни знаменитому "автомобиль - не роскошь, а средство передвижения" (см. И.Ильф, Е.Петров, "Золотой телёнок").
__________________
With Mozilla Firefox - straight to communism!
Vladimir_S вне форума   Ответить с цитированием
Старый 30.10.2016, 11:14   #5 (permalink)
iks2
Member
 
Регистрация: 22.10.2016
Сообщений: 62
Сказал(а) спасибо: 0
Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях
Репутация: 10
По умолчанию

Vladimir_S
Чтобы доказать, что это тождество, мы должны перенести все левую часть и доказать, что это константа равная нулю.
Полагая x = y = 0 мы получим равенство 0 = 0.
Теперь нам надо доказать, что левая часть не зависит от икс. Иными словами производная по икс должна быть равна 0.
ВНИМАНИЕ.
Поймите, это не функция от двух переменных. Еще раз!! Икс не зависит от Игрек и обратное тоже верно!! То есть мы сами устанавливаем, что это уравнение при неизвестной x и параметре y. И нам надо доказать, что левая часть равна 0. Вычисляя производную (параметр y рассматривается как константа) мы получаем 0.
Вывод: уравнение не зависит от икс (и от y тоже). То есть уравнение верно при любом икс (и y тоже). Иными словами это Тождество.

примечание:
попробуйте доказать более простое тождество arctg(x) + arcctg(x) = pi/2 (pi - это число пи). Возможно это даст вам более глубоко осмыслить приведенное выше решение.
iks2 вне форума   Ответить с цитированием
Ads

Яндекс

Member
 
Регистрация: 31.10.2006
Сообщений: 40200
Записей в дневнике: 0
Сказал(а) спасибо: 0
Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях
Репутация: 55070
Старый 30.10.2016, 14:59   #6 (permalink)
Vladimir_S
Специалист
 
Аватар для Vladimir_S
 
Регистрация: 27.08.2008
Адрес: Санкт-Петербург
Сообщений: 24,013
Сказал(а) спасибо: 143
Поблагодарили 286 раз(а) в 98 сообщениях
Репутация: 62968
По умолчанию

Цитата:
Сообщение от iks2 Посмотреть сообщение
Возможно это даст вам более глубоко осмыслить приведенное выше решение.
Ох, да куда уж мне! Единственное, что я отныне уразумел, что
х + у ≡ х
Не, правда:
1. Кладём х = 0 и у = 0. Получаем тождество 0 ≡ 0.
2. Дифференцируем по х, считая у параметром. Получаем 1 ≡ 1.
Всё?
А, да, забыл - нужно же в левую часть всё перенести! Ладно, рассматриваем функцию
х + у - х
Полагая х=у=0, получаем 0.
Дифференцируя по х, тоже получаем 0.
По-моему, доказали.
__________________
With Mozilla Firefox - straight to communism!
Vladimir_S вне форума   Ответить с цитированием
Старый 30.10.2016, 16:50   #7 (permalink)
iks2
Member
 
Регистрация: 22.10.2016
Сообщений: 62
Сказал(а) спасибо: 0
Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях
Репутация: 10
По умолчанию

Vladimir_S
Ну что ж это мой прокол (точнее я упустил очевидную для себя вещь). Икс и Игрек входят в тождество симметрично, так что находить производную по игрек не надо...

Теперь главное в двух словах
1. У нас тождество (пусть правая часть равна 0)
2. То есть левая часть Константа равная нулю.
3. Раз так, то производная по любой переменной должна быть равна 0
4. В силу симметрии переменных достаточно вычислит одну производную например по икс, можно и по игрек.
5. Это производная ТОЖДЕСТВЕННО равна нулю.
...
Vladimir_S
Вы извините, что я так сначала глупо все объяснил. Я так привык обращаться с производной при решении уравнений, что мне самому ясно, что я делаю. И не ясно как это воспримут другие. (для других я даю готовый ответ, опустив всю логику решений)...
iks2 вне форума   Ответить с цитированием
Ads

Яндекс

Member
 
Регистрация: 31.10.2006
Сообщений: 40200
Записей в дневнике: 0
Сказал(а) спасибо: 0
Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях
Репутация: 55070
Ответ

Опции темы
Опции просмотра

Ваши права в разделе
Вы не можете создавать новые темы
Вы не можете отвечать в темах
Вы не можете прикреплять вложения
Вы не можете редактировать свои сообщения

BB коды Вкл.
Смайлы Вкл.
[IMG] код Выкл.
HTML код Выкл.
Trackbacks are Вкл.
Pingbacks are Вкл.
Refbacks are Выкл.




Часовой пояс GMT +4, время: 04:44.


Powered by vBulletin® Version 6.2.5.
Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.