Технический форум

Технический форум (http://www.tehnari.ru/)
-   Математика (http://www.tehnari.ru/f173/)
-   -   Доказать тождество (http://www.tehnari.ru/f173/t249688/)

iks2 29.10.2016 13:00

Доказать тождество
 
Требуется доказать тождество
sin(x)^2 - sin(y)^2 = sin(x + y)sin(x -y)

Vladimir_S 29.10.2016 21:13

А в чем подвох? Обычная школьная задачка по тригонометрии. Решается "в лоб".

iks2 29.10.2016 22:08

Vladimir_S
Вы правы эту задачу можно решить "в лоб".
Но еще проще решить "в уме". Пусть x - переменная
y - параметр. Легко вычислить производную по
переменной икс... и тождество доказано
...
производная - это не подвох, а математический прием.

Vladimir_S 30.10.2016 08:41

Цитата:

Сообщение от iks2 (Сообщение 2428791)
Vladimir_S
Вы правы эту задачу можно решить "в лоб". Но еще проще решить "в уме". Пусть x - переменная y - параметр. Легко вычислить производную по переменной икс... и тождество доказано

Э-э... я, конечно, дико извиняюсь, но нельзя ли поподробнее? Что-то не доходит...
Производная по х левой части есть
2sin(x)cos(x)
Правой части -
cos(x+y)sin(x-y) + cos(x-y)sin(x+y)
Да, действительно, и справа, и слева мы имеем Sin(2x).
Вот только осмелюсь напомнить, что из равенства производных, а уж тем более частных, отнюдь не следует тождественность функций. То есть настолько не следует, что вовсе не следует.
Цитата:

Сообщение от iks2 (Сообщение 2428791)
производная - это не подвох, а математический прием.

Изречение сродни знаменитому "автомобиль - не роскошь, а средство передвижения" (см. И.Ильф, Е.Петров, "Золотой телёнок").

iks2 30.10.2016 11:14

Vladimir_S
Чтобы доказать, что это тождество, мы должны перенести все левую часть и доказать, что это константа равная нулю.
Полагая x = y = 0 мы получим равенство 0 = 0.
Теперь нам надо доказать, что левая часть не зависит от икс. Иными словами производная по икс должна быть равна 0.
ВНИМАНИЕ.
Поймите, это не функция от двух переменных. Еще раз!! Икс не зависит от Игрек и обратное тоже верно!! То есть мы сами устанавливаем, что это уравнение при неизвестной x и параметре y. И нам надо доказать, что левая часть равна 0. Вычисляя производную (параметр y рассматривается как константа) мы получаем 0.
Вывод: уравнение не зависит от икс (и от y тоже). То есть уравнение верно при любом икс (и y тоже). Иными словами это Тождество.

примечание:
попробуйте доказать более простое тождество arctg(x) + arcctg(x) = pi/2 (pi - это число пи). Возможно это даст вам более глубоко осмыслить приведенное выше решение.

Vladimir_S 30.10.2016 14:59

Цитата:

Сообщение от iks2 (Сообщение 2428912)
Возможно это даст вам более глубоко осмыслить приведенное выше решение.

Ох, да куда уж мне! Единственное, что я отныне уразумел, что
х + у ≡ х
Не, правда:
1. Кладём х = 0 и у = 0. Получаем тождество 0 ≡ 0.
2. Дифференцируем по х, считая у параметром. Получаем 1 ≡ 1.
Всё?
А, да, забыл - нужно же в левую часть всё перенести! Ладно, рассматриваем функцию
х + у - х
Полагая х=у=0, получаем 0.
Дифференцируя по х, тоже получаем 0.
По-моему, доказали.

iks2 30.10.2016 16:50

Vladimir_S
Ну что ж это мой прокол (точнее я упустил очевидную для себя вещь). Икс и Игрек входят в тождество симметрично, так что находить производную по игрек не надо...

Теперь главное в двух словах
1. У нас тождество (пусть правая часть равна 0)
2. То есть левая часть Константа равная нулю.
3. Раз так, то производная по любой переменной должна быть равна 0
4. В силу симметрии переменных достаточно вычислит одну производную например по икс, можно и по игрек.
5. Это производная ТОЖДЕСТВЕННО равна нулю.
...
Vladimir_S
Вы извините, что я так сначала глупо все объяснил. Я так привык обращаться с производной при решении уравнений, что мне самому ясно, что я делаю. И не ясно как это воспримут другие. (для других я даю готовый ответ, опустив всю логику решений)...


Часовой пояс GMT +4, время: 02:19.

Powered by vBulletin® Version 4.5.3
Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.