Вычислить объем тела

Fenix · 02.05.2012, 20:54

Помогите вычислить объем тела ограниченного поверхностями:
3x+y=2 ;
3x+2y=4;
x+y+z=2;
y=0;
z=0;

У меня получилось:
4/3 (2-y)/3 -верхняя граница
S dy S(2-x-y)dx -интеграл по dy интеграл по dx
2/3 (4-2y)/3 -нижняя граница

Очень желательно до утра решить) Заранее спасибо.

Vladimir_S · 03.05.2012, 10:45

А я так думаю, что никаких интегралов тут вообще не надо, вполне можно обойтись почти школьными методами.
Для начала займемся рисованием и изобразим фигуру, объем которой надлежит вычислить:

Фигура выделена красным. Засечки на осях соответствуют 1, точки F и G на оси Х имеют координаты 2/3 и 4/3, соответственно (следует из первых двух уравнений при у=0). Искомый объем представляет собой разность объемов пирамид AFDB и AGEB, а объем любой пирамиды, как известно, есть треть произведения ейного основания на высоту. Таким образом:

V = V1-V2 = (0.5*(FB*OA)*FD)/3 - (0.5*(GB*OA)*GE)/3

FB = 4/3
OA = 2
FD = FB = 4/3 (поскольку треугольник COB - равнобедренный, и, следовательно, подобные ему треугольники DFB и EGB - тоже)
GB = GE = 2/3

Подставляя всё это хозяйство в формулу для объема, получаем:

V = 16/27 - 4/27 = 12/27 = 4/9

Вроде, всё.

Впрочем, если очень хочется через интегралы - можно и через интегралы (опять же, правда, опираясь на рисунок). Пожалуйста:

Fenix · 03.05.2012, 20:19

Спасибо большое, Владимир. Только у меня ответ другой получился: 112/27, и декан думает, что это правильный ответ.

P.S: я бы и не через интеграл решал, да декан против)))

Vladimir_S · 03.05.2012, 20:39

Цитата:

Сообщение от Fenix

Спасибо большое, Владимир. Только у меня ответ другой получился: 112/27, и декан думает, что это правильный ответ.

P.S: я бы и не через интеграл решал, да декан против)))

Четыре с лишним кубика?!! Ну вы с деканом даете... Чушь, естественно, полная.
Кстати, "не через интеграл" можно и проще (сейчас разглядел): ведь наша фигура - это ни что иное, как лежащая на боку четырехгранная пирамида высотой 2 с трапецией FGED в основании. Естественно, расчет прямо по формуле объема пирамиды приводит к тому же результату: 4/9.
Ну как знаете.

Fenix · 03.05.2012, 21:17

Незнаю, может у декана сдвиг по фазе? Сегодня, сам не знаю как, выиграл приз в 30 интегралов на выходные.

02.05.2012, 20:54	#1 (permalink)
Fenix 404 Регистрация: 10.01.2010 Сообщений: 1,749 Записей в дневнике: 5 Сказал(а) спасибо: 0 Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях Репутация: 3868	Вычислить объем тела Помогите вычислить объем тела ограниченного поверхностями: 3x+y=2 ; 3x+2y=4; x+y+z=2; y=0; z=0; У меня получилось: 4/3 (2-y)/3 -верхняя граница S dy S(2-x-y)dx -интеграл по dy интеграл по dx 2/3 (4-2y)/3 -нижняя граница Очень желательно до утра решить) Заранее спасибо.

03.05.2012, 20:19	#3 (permalink)
Fenix 404 Регистрация: 10.01.2010 Сообщений: 1,749 Записей в дневнике: 5 Сказал(а) спасибо: 0 Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях Репутация: 3868	Спасибо большое, Владимир. Только у меня ответ другой получился: 112/27, и декан думает, что это правильный ответ. P.S: я бы и не через интеграл решал, да декан против))) Последний раз редактировалось Fenix; 03.05.2012 в 20:25

02.05.2012, 20:54
Helpmaster Member Регистрация: 08.03.2016 Сообщений: 0	Данные темы скорее всего помогут вам разобраться в вашем вопроса Вычислить методом тарапеции в VBA Вычислить предел при x -> бесконечность

03.05.2012, 10:45	#2 (permalink)
Vladimir_S Специалист Регистрация: 27.08.2008 Адрес: Санкт-Петербург Сообщений: 27,807 Сказал(а) спасибо: 340 Поблагодарили 583 раз(а) в 208 сообщениях Репутация: 113184	А я так думаю, что никаких интегралов тут вообще не надо, вполне можно обойтись почти школьными методами. Для начала займемся рисованием и изобразим фигуру, объем которой надлежит вычислить: Фигура выделена красным. Засечки на осях соответствуют 1, точки F и G на оси Х имеют координаты 2/3 и 4/3, соответственно (следует из первых двух уравнений при у=0). Искомый объем представляет собой разность объемов пирамид AFDB и AGEB, а объем любой пирамиды, как известно, есть треть произведения ейного основания на высоту. Таким образом: V = V1-V2 = (0.5(FBOA)FD)/3 - (0.5(GBOA)GE)/3 FB = 4/3 OA = 2 FD = FB = 4/3 (поскольку треугольник COB - равнобедренный, и, следовательно, подобные ему треугольники DFB и EGB - тоже) GB = GE = 2/3 Подставляя всё это хозяйство в формулу для объема, получаем: V = 16/27 - 4/27 = 12/27 = 4/9 Вроде, всё. Впрочем, если очень хочется через интегралы - можно и через интегралы (опять же, правда, опираясь на рисунок). Пожалуйста:

03.05.2012, 21:17	#5 (permalink)
Fenix 404 Регистрация: 10.01.2010 Сообщений: 1,749 Записей в дневнике: 5 Сказал(а) спасибо: 0 Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях Репутация: 3868	Незнаю, может у декана сдвиг по фазе? Сегодня, сам не знаю как, выиграл приз в 30 интегралов на выходные.

Ads
Яндекс Member Регистрация: 31.10.2006 Сообщений: 40200 Записей в дневнике: 0 Сказал(а) спасибо: 0 Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях Репутация: 55070