|
Вычислить объем тела
Помогите вычислить объем тела ограниченного поверхностями:
3x+y=2 ; 3x+2y=4; x+y+z=2; y=0; z=0; У меня получилось: 4/3 (2-y)/3 -верхняя граница S dy S(2-x-y)dx -интеграл по dy интеграл по dx 2/3 (4-2y)/3 -нижняя граница Очень желательно до утра решить) Заранее спасибо. |
Вложений: 2
А я так думаю, что никаких интегралов тут вообще не надо, вполне можно обойтись почти школьными методами.
Для начала займемся рисованием и изобразим фигуру, объем которой надлежит вычислить: Вложение 77541 Фигура выделена красным. Засечки на осях соответствуют 1, точки F и G на оси Х имеют координаты 2/3 и 4/3, соответственно (следует из первых двух уравнений при у=0). Искомый объем представляет собой разность объемов пирамид AFDB и AGEB, а объем любой пирамиды, как известно, есть треть произведения ейного основания на высоту. Таким образом: V = V1-V2 = (0.5*(FB*OA)*FD)/3 - (0.5*(GB*OA)*GE)/3 FB = 4/3 OA = 2 FD = FB = 4/3 (поскольку треугольник COB - равнобедренный, и, следовательно, подобные ему треугольники DFB и EGB - тоже) GB = GE = 2/3 Подставляя всё это хозяйство в формулу для объема, получаем: V = 16/27 - 4/27 = 12/27 = 4/9 Вроде, всё. Впрочем, если очень хочется через интегралы - можно и через интегралы (опять же, правда, опираясь на рисунок). Пожалуйста: |
Спасибо большое, Владимир. Только у меня ответ другой получился: 112/27, и декан думает, что это правильный ответ.
P.S: я бы и не через интеграл решал, да декан против))) |
Цитата:
Кстати, "не через интеграл" можно и проще (сейчас разглядел): ведь наша фигура - это ни что иное, как лежащая на боку четырехгранная пирамида высотой 2 с трапецией FGED в основании. Естественно, расчет прямо по формуле объема пирамиды приводит к тому же результату: 4/9. Ну как знаете. |
Незнаю, может у декана сдвиг по фазе? Сегодня, сам не знаю как, выиграл приз в 30 интегралов на выходные.
|
| Часовой пояс GMT +4, время: 23:25. |
Powered by vBulletin® Version 4.5.3
Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.