конечно будет, с чего бы ей не работать.
а питание будет с плеча 22в, так как у тебя двухполупериодный выпрямитель со средней точкой получится. Прийдётся установить по 270Ом последовательно с кеждой релюшкой ( вместо 200Ом , ведь реле будешь ставить на 12в, так будет более надёжное включение, так как для 24в реле - уже желательно 24в и более) , а верхний резистор 47кОм ВОЗМОЖНО прийдётся немного уменьшить, для того чтобы защита подключала реле с меньшей задержкой.
в случае с применением одного диода, ёмкость конденсатора следует удвоить, так как выпрямитель будет однополупериодным и пульсации выше, а значит и просадка больше под нагрузкой, по этому ставим ёмкость не менее 470-1000мкф. Конденсатор зарядится до амплитудного значения и будет те же 20-22в.