Так, ну вроде как проблема решена. Путём неимоверного умственного напряжения с моей стороны и помощи спецов с форума поддержки AVAST!. Вот что получилось:
1. В настройках AVAST! во вкладке "Обновить" есть скрытая под спойлером опция "Подробности". Нужно ее открыть и поставить галку "Мой компьютер постоянно подключен к интернету". По умолчанию там ни одна из двух галок не поставлена, что есть IMHO полный идиотизм.
2. В AVAST! начиная с восьмой версии существует такая пакость по имени Sofware Updater. Это дополнительный сервис, который отслеживает актуальность установленных приложений, плагинов и т.п., и если обнаруживает, что они устарели, то либо пытается обновить их сам, либо начинает на эту тему верещать. Поскольку подобное хозяйничание в моём компьютере для меня неприемлемо (только я решаю, кого обновлять, а кого нет), в восьмой версии я это дело отключил через Установку/Удаление программ, а вот в девятой при установке "начисто" использовал выборочный режим и галку с этого Sofware Updater снял. Но, похоже, так делать нельзя: нужно всё-таки позволить установить эту дрянь а потом в настройках просто не активировать. А у меня было вот что: в логах (посмотреть надоумили спецы с AVAST!-форума) при каждой попытке автоматического обновления баз в Log-файл вносилась запись:
"StopPatchManagement: ASU Component is not installed"
(ASU - это AVAST! Software Updater). После доустановки SU (без последующей активации!) записи прекратились.
И вот, наконец, торжественный момент: вчера после приведения антивирусника в норму наконец вылезло долгожданное окошко и мне было проквакано, что "Вирусная база обновлена".