Николай_С

До ЕГЭ по мотематике остался последний день - дочка сдает - а вопросы даже человека с в/о (дневное отделение политеха) ствят в тупик.
Вот самый тупиковый из тригонометрии:

Найти решение тригонометнического уравнения (sinX)^4 - (cosX)^4 = 1/2

У меня получилось: х = +-П/6 + Пn
Но после подстановки корней в основное уравнение, получается дурь:






Кто-нибудь поможет найти правильное решение?

Vladimir_S

Ну что же, давайте выходить из тупика.
Итак:

(Sin²(x))² - (Cos²(x))² = 0.5

Вспоминаем, что a² - b² = (a - b)*(a+b), откуда

(Sin²(x) - Cos²(x))*(Sin²(x) + Cos²(x)) = 0.5

Но сумма квадратов синуса и косинуса есть единица, и в то же время, если вспомнить формулу косинуса двойного угла, разность, стоящая в первом сомножителе, есть -Cos(2x), откуда

Cos(2x) = -0.5

Решением данного уравнения будет

2x = ±(2/3)*π + 2πn, или

x = ±(π/3) + πn, где n = 0; ±1; ±2; ±3; ±4; и т.д.

Николай_С

Спасибо, Владимир.
Я тоже пошел по этому пути.
Однако, видать, презанимался...

Николай_С

Правильный путь - использовать преобразование с понижением степени (как предложил Владимир Игоревич).
Дочка решила это уравнение методом преобразования ((cosX)^2)^2 в 1-((sinX)^2)^2 с дальнейшим извлечением квадратного корня. В этом случае появляются ложные корни, которые требуют проверки.
Это хорошо, когда калькулятор под руками, а как проверить корень без него?
Ну и я лопухнулся, когда записывал корни в калькулятор... Ну а дальше понеслось...
Правильная запись выхлядит так:

Может кому пригодится.