Подынтегральная функция методом Симпсона

Alessandro4 · 27.02.2019, 10:47

Помогите с задачей и объясните ее доступным для новичка языком

Задача: вычисление определённых интегралов и табулирование первообразных функций

Все что мне известно:

Подынтегральная функция - 1/x*ln*x
Промежуток интеграла - [2;3]
Кол-во частей разбивки - 36
Вычисление значения первообразной h - 0,2
Точность вычисления значения первообразной - 0,001
Точное значение первообразной - 2,3026(ln ln x - ln ln 2)

Vladimir_S · 27.02.2019, 10:51

Да легко, сейчас нарисую.

Vladimir_S · 27.02.2019, 11:31

Значит, так.
Прежде всего — методичка составлена бестолково и ошибками. В частности, откуда взялся множитель 2,3026 — совершенно не представляю. А так — пожалуйста:

Код:

Const
 a=2.0;
 Eps=0.001;
 h=0.2;

Var
 x:Real;
 j:Byte;

Function F(p:Real):Real;
begin
 F:=1.0/(p*ln(p));
end;

Function Antiderivative(p:Real):Real;
begin
 Antiderivative:=Ln(Ln(p));
end;


Function Simpson(p:Real):Real;
var
 i,N:Integer;
 Sum1,Sum2,t:Real;
begin
 N:=2;
 t:=(p-a)/(2*N);
 Sum1:=(F(a)+F(p))/3*t;
 for i:=1 to N do
  Sum1:=Sum1+4.0*t/3.0*F(a+t*(2*i-1));
 for i:=2 to N do
  Sum1:=Sum1+2.0*t/3.0*F(a+t*(2*i-2));
 Sum2:=Sum1;
 Repeat
  Sum1:=Sum2;
  N:=N*2;
  t:=(p-a)/(2*N);
  Sum2:=(F(a)+F(p))/3*t;
  for i:=1 to N do
   Sum2:=Sum2+4.0*t/3.0*F(a+t*(2*i-1));
  for i:=2 to N do
   Sum2:=Sum2+2.0*t/3.0*F(a+t*(2*i-2));
 Until ABS(Sum2-Sum1)<Eps;
 Simpson:=Sum2;
end;

Begin
 WriteLn('   x     Simpson    Accurate value');
 for j:=1 to 5 do
  begin
   x:=a+h*j;
   WriteLn(x:5:1, '   ',Simpson(x):0:8, '   ',(Antiderivative(x)-Antiderivative(a)):0:8);
  end;
 ReadLn
End.

Alessandro4 · 27.02.2019, 12:16

Спасибо вам)) Я как дома буду проверю
А как вам мой вариант решения задачи, помог препод:

Vladimir_S · 27.02.2019, 12:47

Цитата:

Сообщение от Alessandro4

А как вам мой вариант решения задачи

Извините, но вижу лишь обрывок весьма, мягко говоря, странного кода. Симпсоном тут и не пахнет.

Цитата:

Сообщение от Alessandro4

Я как дома буду проверю

А что проверять? Я ж выложил результат работы программы.

Alessandro4 · 27.02.2019, 14:07

Большое вам спасибо!
Я больше имел в виду что изучу ее, чтоб суметь грамотно объяснить преподавателю

Vladimir_S · 27.02.2019, 14:10

Цитата:

Сообщение от Alessandro4

Я больше имел в виду что изучу ее, чтоб суметь грамотно объяснить преподавателю

Удачи! И обращайтесь, если потребуются с моей стороны какие-то объяснения.

Alessandro4 · 27.02.2019, 23:27

Ладно, пытался я значит сам разобраться, но что то не очень, выходит

Объясните, пожалуйста, ваши блоки и сам метод)

Vladimir_S · 28.02.2019, 10:47

Цитата:

Сообщение от Alessandro4

Объясните, пожалуйста, ваши блоки и сам метод)

Пожалуйста.
Интеграл берется аналитически, и первообразная (кстати, в методичке, как обычно бывает, это слово употреблено безграмотно, на самом деле первообразная, она же "неопределенный интеграл", это функция, дифференцирование которой даёт подынтегральное выражение, поэтому первообразная определяется с точностью до произвольной константы) есть
Ln(Ln(x))+С.
Отсюда определенный интеграл с переменным верхним пределом (который эти умники называют "первообразной") есть
Ln(Ln(x)) - Ln(Ln(a)).
Уж откуда эти ... взяли числовой коэффициент — не ведаю. Впрочем, догадываюсь: скорее всего, подынтегральная функция предполагалась не 1/(xLn(x)), как у них в таблице, а 1/(xLg(x)), т.е. с десятичным, а не натуральным логарифмом. Тогда действительно возникает коэффициент Ln(10). Идиоты!
Всё это считается в программе через функцию Antiderivative.

Теперь, собственно, о численном интегрировании.

1. Вспомним формулу Симпсона для вычисления интеграла на промежутке (a,b):
а) разбиваем промежуток на 2N частей (тут важна чётность).
б) вводим
h = (b - a)/(2N)
Xj = a + h*j, j = 0, 1, ... 2N
Yj = f(Xj), где f — подынтегральная функция.
тогда интеграл есть
(h/3)*(Y0 + 4*Y1 + 2*Y2 + 4*Y3 + ... + Y2N)

2. Тут опять "уважаемые" преподаватели бьют бедных студиозусов ключом (разводным или шведским) по голове. Видите ли, можно либо зафиксировать число разбиений интервала, тогда точность — уж как получится, либо задать точность и дробить интервал до тех пор, пока мы этой точности не достигнем. А то и другое сразу, как предписывают эти корифеи, НЕВОЗМОЖНО. Поэтому я выбрал второй вариант — вычисление интеграла с заданной точностью. Вычисление делается в функции Simpson.

3. В этой функции организован следующий цикл:
а) Вычисляется значение интеграла при 2N = 2. Обозначим это значение Sum1.
б) Удваиваем N и повторяем вычисление. Получаем величину Sum2.
в) Если |Sum1-Sum2|< ε, то на этом заканчиваем, в противном случае величине Sum1 присваиваем значение Sum2, снова вдвое дробим интервал и повторяем вычисление, в результате которого получаем новое значение Sum2, которое сравниваем с Sum1.
г) Делаем так до тех пор, пока не выполнится условие малости разницы результатов двух итераций.

Далее в программе сделан вывод таблицы результатов, где сопоставляется значение численного расчета при изменении верхнего предела интеграла с точным значением.

Alessandro4 · 04.03.2019, 03:00

Код:

 begin
1  N:=2;
2  t:=(p-a)/(2*N);
3  Sum1:=(F(a)+F(p))/3*t;
4  for i:=1 to N do
5   Sum1:=Sum1+4.0*t/3.0*F(a+t*(2*i-1));
6  for i:=2 to N do
7   Sum1:=Sum1+2.0*t/3.0*F(a+t*(2*i-2));
8  Sum2:=Sum1;
9  Repeat
10   Sum1:=Sum2;
11   N:=N*2;
12  t:=(p-a)/(2*N);
13   Sum2:=(F(a)+F(p))/3*t;
14  for i:=1 to N do
15   Sum2:=Sum2+4.0*t/3.0*F(a+t*(2*i-1));
16   for i:=2 to N do
17   Sum2:=Sum2+2.0*t/3.0*F(a+t*(2*i-2));
18 Until ABS(Sum2-Sum1)<Eps;
19  Simpson:=Sum2;
20 end;

Спасибо за разъяснение, но многое мне, конечно, не понятно
Кстати и препод сказал, что вы ошиблись хех, да да... а именно в строчке - 7, опираясь на формулу сказал, что "-2" не должно там быть и попросил меня понять как работает весь этот цикл > объяснить ему > сдать, ибо мое объяснение его не особо удовлетворило. Объясните, пожалуйста, все строчки, если вас не затруднит, ибо в методе симпсона и в самих интегралах я не очень, желательно разжевав) Еще раз огромное спасибо)

27.02.2019, 10:47	#1 (permalink)
Alessandro4 Member Регистрация: 27.02.2019 Сообщений: 17 Сказал(а) спасибо: 0 Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях Репутация: 10	Подынтегральная функция методом Симпсона Помогите с задачей и объясните ее доступным для новичка языком Задача: вычисление определённых интегралов и табулирование первообразных функций Все что мне известно: Подынтегральная функция - 1/xlnx Промежуток интеграла - [2;3] Кол-во частей разбивки - 36 Вычисление значения первообразной h - 0,2 Точность вычисления значения первообразной - 0,001 Точное значение первообразной - 2,3026(ln ln x - ln ln 2) Миниатюры

27.02.2019, 12:16	#4 (permalink)
Alessandro4 Member Регистрация: 27.02.2019 Сообщений: 17 Сказал(а) спасибо: 0 Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях Репутация: 10	Спасибо вам)) Я как дома буду проверю А как вам мой вариант решения задачи, помог препод: Миниатюры

04.03.2019, 03:00	#10 (permalink)
Alessandro4 Member Регистрация: 27.02.2019 Сообщений: 17 Сказал(а) спасибо: 0 Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях Репутация: 10	Код: begin 1 N:=2; 2 t:=(p-a)/(2N); 3 Sum1:=(F(a)+F(p))/3t; 4 for i:=1 to N do 5 Sum1:=Sum1+4.0t/3.0F(a+t(2i-1)); 6 for i:=2 to N do 7 Sum1:=Sum1+2.0t/3.0F(a+t(2i-2)); 8 Sum2:=Sum1; 9 Repeat 10 Sum1:=Sum2; 11 N:=N2; 12 t:=(p-a)/(2N); 13 Sum2:=(F(a)+F(p))/3t; 14 for i:=1 to N do 15 Sum2:=Sum2+4.0t/3.0F(a+t(2i-1)); 16 for i:=2 to N do 17 Sum2:=Sum2+2.0t/3.0F(a+t(2*i-2)); 18 Until ABS(Sum2-Sum1)<Eps; 19 Simpson:=Sum2; 20 end; Спасибо за разъяснение, но многое мне, конечно, не понятно Кстати и препод сказал, что вы ошиблись хех, да да... а именно в строчке - 7, опираясь на формулу сказал, что "-2" не должно там быть и попросил меня понять как работает весь этот цикл > объяснить ему > сдать, ибо мое объяснение его не особо удовлетворило. Объясните, пожалуйста, все строчки, если вас не затруднит, ибо в методе симпсона и в самих интегралах я не очень, желательно разжевав) Еще раз огромное спасибо)

Опции темы
Версия для печати Отправить по электронной почте
Опции просмотра
Линейный вид Комбинированный вид Древовидный вид

27.02.2019, 10:47
Helpmaster Member Регистрация: 08.03.2016 Сообщений: 0	Суть содержания этой темы схожа с этими темами Си, функция Turbo Pascal, метод Симпсона Функция DEP? Функция

27.02.2019, 10:51	#2 (permalink)
Vladimir_S Специалист Регистрация: 27.08.2008 Адрес: Санкт-Петербург Сообщений: 27,807 Сказал(а) спасибо: 340 Поблагодарили 583 раз(а) в 208 сообщениях Репутация: 113184	Да легко, сейчас нарисую.

Ads
Яндекс Member Регистрация: 31.10.2006 Сообщений: 40200 Записей в дневнике: 0 Сказал(а) спасибо: 0 Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях Репутация: 55070

27.02.2019, 14:07	#6 (permalink)
Alessandro4 Member Регистрация: 27.02.2019 Сообщений: 17 Сказал(а) спасибо: 0 Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях Репутация: 10	Большое вам спасибо! Я больше имел в виду что изучу ее, чтоб суметь грамотно объяснить преподавателю

27.02.2019, 23:27	#8 (permalink)
Alessandro4 Member Регистрация: 27.02.2019 Сообщений: 17 Сказал(а) спасибо: 0 Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях Репутация: 10	Ладно, пытался я значит сам разобраться, но что то не очень, выходит Объясните, пожалуйста, ваши блоки и сам метод)