Léon

Здравствуйте! Есть вот такая задачка:
Выяснить, являются ли следующие множества конечными, счетными или несчетными? Множество всех непрерывных на отрезке [0,1] числовых функций, принимающих в рациональных точках отрезка рациональные значения.
Если есть знатоки функционального анализа, помогите разобраться.

Léon

Сама разобралась. Можно, например, взять последовательность {1/n}. Рассмотрим множество кусочно-линейных непрерывных функций сходящихся к нулю при x->0, таких что f(0)=0; f(1)>1, ∀n: 0<f(1/(n+1))<(f(1/n))/2 и для всех n, f(1/n)∈Q. Очевидно, что в рациональных точках эти функции принимают рациональные значения и количество их не менее континуума. Множество счетное и конечно.

Николай_С

Интересно, Анжелика, а где Вы учитесь?

Léon

Гродненский государственный университет имени Янки Купалы, факультет математики и информатики.

Николай_С

Солидно звучит!
А разве специальность математика в Беларуссии еще восстребована?
У нас уж 20 лет как нет.

Léon

Конечно, странно от Вас это слышать. Она везде востребована.

Николай_С

Ничего странного. Говорю как есть.
И это Нижний Новгород, где математиков готовили в университете несколько факультетов.
Сейчас большинство работает не по специальности.
Печально.

Vladimir_S

Вообще-то не знаток, но так, из общих соображений, вроде как счетно, а вот насчет конечности - как-то не уверен. Я рассуждаю так: возьмем любую рациональную точку в указанном интервале и рассмотрим множество значений всех функций в этой точке. Поскольку эти значения - рациональны, то указанное множество, будучи подмножеством Q, тоже счетно. Поскольку указанное свойство приложимо к любой рациональной точке, и функции однозначно задаются множеством значений в рациональных точках интервала, то мы, в конечном итоге, имеем объединение счетного количества счетных множеств, каковое является счетным. А вот насчет конечности... Нет, я не спорю, может быть, просто как-то не вижу толком, откуда это следует. Символьного построения, откровенно говоря, не понял.
Но это, скорее всего, мои проблемы.