28.04.2013, 23:25 | #1 (permalink) |
Новичок
Регистрация: 28.04.2013
Сообщений: 1
Сказал(а) спасибо: 0
Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях
Репутация: 10
|
Помогите с дифференциальными уравнениями
|
28.04.2013, 23:25 | |
Helpmaster
Member
Регистрация: 08.03.2016
Сообщений: 0
|
На форуме уже кто то создавал подобные обсуждения Проблема с дифференциальными уравнениями |
29.04.2013, 01:41 | #2 (permalink) |
С# - learn or die
Регистрация: 17.12.2011
Сообщений: 2,438
Записей в дневнике: 8
Сказал(а) спасибо: 21
Поблагодарили 49 раз(а) в 11 сообщениях
Репутация: 19701
|
Вы бы сказали, что у вас не получается, а то сидеть и прорешивать все как-то не хочется...
Можете посмотреть решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Там аналогичные задачи. |
29.04.2013, 20:51 | #3 (permalink) |
Специалист
Регистрация: 27.08.2008
Адрес: Санкт-Петербург
Сообщений: 27,807
Сказал(а) спасибо: 340
Поблагодарили 583 раз(а) в 208 сообщениях
Репутация: 113184
|
Ну, что касается второго, то прежде всего, не ясно, что тут делает частная производная? Но если считать ее производной обычной, то так:
1. Умножаем обе части уравнения на (х² + 1)². Получаем: y'(х² + 1)² + 4ху(х² +1) = 1/(х² +1) 2. Замечаем, что то, что стоит слева, есть ни что иное, как производная произведения у(х² + 1)². Обозначив это произведение буквой z, имеем z' = 1/(x² + 1). 3. Интегрируя, получаем z = arctg(x) + C 4 Откуда без труда находим искомый у: у = (arctg(x) + C)/(х² + 1)² |
30.04.2013, 20:40 | #4 (permalink) |
Специалист
Регистрация: 27.08.2008
Адрес: Санкт-Петербург
Сообщений: 27,807
Сказал(а) спасибо: 340
Поблагодарили 583 раз(а) в 208 сообщениях
Репутация: 113184
|
Да, а вот с первым... Заело, признаться. Добил, конечно, но вот есть у меня подозрение, что ездил в Жмеринку из Киева через Владивосток. Скорее всего, существует куда более простое и быстрое решение. Не нашел.
Решал так: y'' - 2y' + 2y = 4Exp(x)Cos(x) Прежде всего, избавимся от экспоненты с помощью очевидной подстановки y = 4zExp(x). Тогда, после вычисления производных и приведения подобных, получаем уравнение относительно z: z'' + z = Cos(x) тоже гнусно-нелинейное. Ладно, займёмся его решением. Общее решение однородного уравнения очевидно: ACos(x) + BSin(x), где A и B - произвольные константы. Теперь ищем частное решение. Для этого удобнее перейти к комплексной форме. Пусть z = Re(Z) и Z'' + Z = Exp(ix) Общее решение однородного уравнения есть CExp(ix), а частное найдем методом вариации постоянной, т.е. в форме C(x)Exp(ix). Подстановка дает C'' + 2iC' = 1 Сделав, для избавления от единицы справа, подстановку C = Q - ix/2, получаем для Q Q'' + 2iQ' = 0, которому удовлетворяет функция Q = Exp(-2ix), откуда C = Exp(2ix) - ix/2 Z = (Exp(2ix) - ix/2)Exp(ix) Переходя в последнем уравнении от экспоненциальной формы к тригонометрической, произведя умножение с сохранением только вещественных элементов и добавив решение однородного, получаем z = (A+1)Cos(x) + (x/2 + B)Sin(x) y = 4zExp(x) = (4(A+1)Cos(x) + (2x + 4B)Sin(x))Exp(x) Переобозначая константы D=4(A+1) и F=4B, получаем: y = (DCos(x) + (2x + F)Sin(x))Exp(x) Найдем от этого дела производную: y' = (Sin(x)(2x + F - D + 2) + Cos(x)(D + 2x + F))Exp(x). Осталось вычислить константы. y(π) = -DExp(π), откуда D = -π y'(π) = (-D + 2π +F)Exp(π), откуда F = 1 - π. Окончательно: y = ((2x + 1 - π)Sin(x) - πCos(x))Exp(x) |
Ads | |
Member
Регистрация: 31.10.2006
Сообщений: 40200
Записей в дневнике: 0
Сказал(а) спасибо: 0
Поблагодарили 0 раз(а) в 0 сообщениях
Репутация: 55070
|
|
|