Технический форум

Технический форум (http://www.tehnari.ru/)
-   Математика (http://www.tehnari.ru/f173/)
-   -   Решить уравнение в натуральных числах (http://www.tehnari.ru/f173/t249591/)

iks2 26.10.2016 11:14

Решить уравнение в натуральных числах
 
Дано уравнение 1/x + 1/y = 1/p (где p - простое число)
требуется решить его в натуральных числах
решение
1. одно решение очевидно (2p, 2p)
2. перепишем исходное уравнение в виде
(x + y)p = xy [1]
поскольку p - простое число, то оно будет входить либо в x, либо в y, либо в обе неизвестные разом. Пусть входит в y. То есть y = kp (где k - натуральное число). Подставляя y в уравнение [1] получим
(x + kp)p = xkp
x + kp = kx
kp = (k - 1)x [2]
Вот здесь и возникает неопределенность, хотя еще одно решение можно найти, если положить, что k -1 = p. И тогда k = p + 1 и x = p + 1, а y = p(p + 1)
...
Но ведь икс тоже может делиться на p? Или нет?
В общем я запутался... как подойти к решению уравнения [2]
....
а ведь переменные в придачу входят в уравнение симметрично...

Vladimir_S 26.10.2016 12:35

Цитата:

Сообщение от iks2 (Сообщение 2427505)
Вот здесь и возникает неопределенность

Так в диофантовых уравнениях она всегда возникает.
Цитата:

Сообщение от iks2 (Сообщение 2427505)
еще одно решение можно найти, если положить, что k -1 = p. И тогда k = p + 1 и x = p + 1, а y = p(p + 1)

Отличное решение! Вопрос лишь о единственности. Точно не скажу, но похоже, что оно единственное.


Часовой пояс GMT +4, время: 14:09.

Powered by vBulletin® Version 4.5.3
Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.