давайте по порядку.
вентилятор на кулере может не крутиться из-за наличия большого количества пыли под крыльчаткой (засорена втулка или подшипник). попробуйте прокрутить его пальцами. если крутится очень тяжело, то нужно снять крыльчатку, прочистить, смазать втулку и поставить на место. если определитесь что плохо крутится, расскажем поподробнее.
то что видяха работает без охлаждения не очень хорошо, будут перезагрузки, артефакты, все вплоть до смерти видеокарты.
игры запускаться должны, но при перегреве будет все вышеуказанное. возможно проблема в некорректно установленной операционке/драйверах.
перегрев тут ни при чем.
хорошая видеокарта - понятие весьма и весьма относительное, все зависит от бюджета и в какое железо вы хотите воткнуть. для кого-то и Nvidia GTX 550 (около 4000р) уже хорошая видеокарта, для кого-то и ATI HD6950 (около 9000) - прошлый век, хотя одна из топовых карт прошлого поколения видеокарт, новые не настолько далеко от нее ушли.
в общем озвучьте цифру и вашу конфигурацию, будем от этого плясать. цифру желательно 3500-4000, дешевле мало интересных видеокарт которые хоть что-то могут, тем более если разговор идет о играх.