Я правильно понимаю. Полежав без включения некоторое время ваш комп запускается? Поработав некоторое время- перестает включаться?
Если да, то такая неисправность характерна для электролитических конденсаторов. Как проверить без приборов? Визуальный осмотр на предмет вздутия или покачиванием, на предмет недержания ног за плату. Далее либо заменой на заведомо исправный, либо с помощью омметра. Последние два способа в неумелых руках- высокая вероятность добить мать окончательно, так как требуется выпаивание/впаивание самих конденсаторов. Вообще то есть приборы, для проверки емкости прямо на плате. Но и здесь может быть засада, так как по питанию конденсаторы обычно стоят параллельно друг дружке и если суммарная емкость в данной цепи не сходится с показанием прибора, то поиск неисправного- выпаиванием. Отсюда напрашивается вывод- для начала убедитесь в исправности вашего БП. Тут только заменой. Ваш поставьте на другой, а другой на место вашего. Посмотрите результат. Не пропал симптом- мать лучше, при вашей квалификации (не обижайтесь, но возможно после вашего ремонта дальше только в утиль), отдать специалисту для проверки. Но отдавать в ремонт лучше все железо сразу (весь системник). И проверьте батарейку, как уже писали. Она отвечает за запоминание настроек, которые как раз и используются в момент пуска.
А далее, если с железом все нормально- копаться нужно в програмье.